４月末で退職するのですが、会社が雇用保険に加入していません。自己都合で退職するので、今月に１２カ月分さかのぼって雇用保険を支払えば、失業保険がもらえるようになりますか？

既に回答が出ていますが、少し？な回答もあるので、補足も兼ねて書きますね。

まず、雇用保険は社員だろうがバイトだろうがパートだろうが、要件を満たしていれば雇用保険をかける義務が会社にはあります。
もっと言うと、要件を満たしているのであれば、会社も本人も雇用保険をかけることを拒否できません。強制保険なのです。

雇用保険をかけることができる要件は、１週間の労働時間が２０時間以上あり３１日以上雇用する見込みがあることです。
あなたの場合ずっと会社で働いていたのであれば、３１日以上雇用見込み・・という部分はクリアしていることになるので、あとは
あなたの１週間の労働時間が何時間だったによって雇用保険をかける必要があったかなかったか分かると思います。

他の方も回答されているように、雇用保険はあなただけが雇用保険料を支払えばいいという問題ではありません。
もし会社が今まで雇用保険の手続きを全くされていなかったのであれば、まずは会社が労働基準監督署と安定所に行き、必要な手続きをする必要があります。その際に（安定所に行った際に）あなたに雇用保険をかけることになります。
この手続きは会社がするものであって、あなたが安定所に行っても雇用保険をかけることはできません。

まずは会社に雇用保険をかけてほしいとお話してみてください。
会社に何度か話しをして、どうしても動いてくれない場合は安定所に給料明細などを持って相談に行ってください。
何もしないうちから相談ではなく、まずは自分で動いてみましょう。
いきなり安定所の方から連絡だと、会社の方も驚かれます。もしただ単にそういう知識がないだけ（それはそれで問題ですが）で、話せばきちんとしてくれる会社だった場合、あなたの心証も悪くなるかもしれません。
埒が明かず、安定所に相談しに行く場合は、働いていたという確認ができる給料明細等を持って行ってください。


ご参考になさってください。

失業手当を受給する予定です。
受給期間中に週１回位のアルバイトをしたいと考えています。１日８時間で１５０００円位の収入になると思います。ちなみに失業保険の基本日額は７０００円位です。１か所で毎週一回、数か月続けても受給に問題ないでしょうか？
このような場合やはり届け出したほうがいいのでしょうか？
教えてください、お願いします。

＊「週20時間以上」
＊「30日を超え雇用が継続される見込み」
↑
この両方の条件を満たす場合、新たに雇用保険に入り直す必要に迫られ、「失業の状態」とみなされなくなってしまいます。

質問者さんの場合はそうでないので、１か所で毎週１回の条件なら数か月続けても問題はないです。

ただし！
失業認定日と呼ばれるハローワークへの出頭日に就労日と日当額とを正しく申告することと、「数か月はバイトを続ける見通し」のことはあまり口外なさらないことをお勧めします。

「バイトを続けて失業のお手当をいただくつもりであることで、正規就労の意思自体はない」とみなされた場合、お手当の給付がストップしてしまいかねないからです。

届出というか認定日ごとの申告です。必ずなさってください。それとは別に、求職活動（できれば、採用面接を受ける前提でのための応募）自体もノルマですので、当初の手続き後に日時を指定される必須の「受給説明会」で制度の仕組みとルールをよく理解くださいますよう・・・

失業保険について
正社員で、昨年10月から今年の5月までの8カ月間、雇用保険をかけていました。
5月末に退職しました。

本日、7月23日より派遣で働きはじめました。
社保に入る手続きもしています。
短期派遣で11月末までの仕事です。

いまの派遣で多分8,9,10,11月の合計4か月雇用保険をかけることになると思うのですが、
もし、派遣終了後仕事を紹介してもらえない場合は
待機期間なしですぐに失業保険の申請はできるのでしょうか？

実は、こちらの派遣会社
小さな会社なので仕事の件数がすごく少ないです。
今回はたまたま希望に合う職場だったのですが
今後、希望に合う仕事を紹介してくれる希望が持てません。

職業訓練校に通いたいので
待機なしなら1月入校の学校を調べたりしたいので
準備したいため教えてほしいです。
よろしくお願いします。

雇用保険の加入には週平均勤務時間が２０時間以上で加入できます
失業保険をもらうときには申請時からさかのぼり２年間に月の出勤日数が
１１日以上ある月が１２回（１２カ月）必要です
続けて１２カ月ではありません
質問者の方は昨年１０月から今年の５月とありますが
今後の４カ月を含め給与明細等で出勤日数を確認してください

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