失業手当について
旦那の遠方への転勤で、6年勤めた会社
を辞めるのですが、失業保険はすぐもらえますか？

ハローワークの判断によりけりです。
特定受給資格者というものがあり、正当な理由により離職した者には給付制限がありません。
質問者様の理由が該当するかどうかはハローワークに確認しないと一概には言えないと思います。

就業手当てについて。

現在、失業保険の給付制限中です。
待機は終わり、初回認定日が来月の4日です。

ハローワークには伝えているのですが、
離職表を提出する前から週に３日ほど、１
日4～5hのバイトをしていました。
待機のときは働いていません。

給付制限中は就職が決まるまでこのままアルバイトを続けようと思っていますが、
週に４日、1日4.5時間の勤務を1～2ヶ月続けようと思う場合
認定日ごとに働いた通りに申告すれば
問題なく基本手当は支給されるのでしょうか？

週に４日は確実にバイトをすると思うので、この場合は就業手当ての申請をしたほうがいいのでしょうか。
継続が見られる場合は就業手当ての対象になると資料には書いてあったのですが、
週20時間以内の継続でも対象になりますか？


ちなみに、週5日、１日4.5hの場合は就業手当ての対象になりますか？

就業手当は「基本手当日額の３０％」しか支給が無く、所定給付日数も支給を受けた日数分減ります。

再就職手当なら所定給付日数が三分の二以上なら「基本手当日額の６０％」ですので、就業手当の支給を受けて所定給付日数を減らすことが得になるとは思えません。

会社を辞めたので、社会保険事務所に国民健康保険の
任意継続の手続きをしに行きました。
「失業保険の金額をみると、親の扶養に入れそうですよ。」
と言われたので、任意継続の手続きを止めて、
親の扶養に入るように手続きをしていました。
すると、市役所の方から「失業保険の金額がオーバーしているため、扶養には入れません。」
と、連絡が来ました。

社会保険事務所へ行っても、任意継続の手続きの期限が切れています。
どうすればいいですか？
また、任意継続じゃない場合、保険料は上がりますか？

上の方も書いているとおり大丈夫だと思います。

（任意継続被保険者）
健康保険法37条任意継続被保険者の申出は、被保険者の資格を喪失した日から20日以内にしなければならない。ただし、保険者は、正当な理由があると認めるときは、この期間を経過した後の申出であっても、受理することができる。

貴方の場合、正当な理由があると判断されるでしょう。保険者(社会保険事務所)の説明が間違っていたのですからね。

任意継続ではなく国民健康保険にした場合は、前年の所得により、またお住まいの市町村により、保険料が異なります。
市町村役場にて保険料の試算をしてくれますので、保険料がいくらになるか尋ねてみるとよいでしょう。

昨年の５月から派遣社員として勤務しているのですが、

今年の５月末で退職した場合、

失業保険の給付は得られるのでしょうか？


それとも６月末退職でなければ給付は得られないでしょうか？

失業給付の受給条件は下記の通りです。

１．正当な理由のない自己都合（特定受給資格者及び特定理由離職者以外）では離職の日以前２年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間１２ヵ月以上あること、給付制限あり

２．正当な理由のある自己都合で特定受給資格者及び特定理由離職者以外は離職の日以前２年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間１２ヵ月以上あること、給付制限なし

３．正当な理由のある自己都合で特定理由離職者２は離職の日以前１年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間６ヵ月以上あること、給付制限なし

４．会社都合（特定受給資格者）では離職の日以前１年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間６ヵ月以上あること、給付制限なし

５．労働契約期間の満了（働く側が更新を希望した場合）で特定理由離職者１は離職の日以前１年間に賃金支払基礎日数が１１日以上の被保険者期間６ヵ月以上あること、給付制限なし（所定給付日数は３年限定で特定受給資格者と同じ）

＞失業保険の給付は得られるのでしょうか？
それとも６月末退職でなければ給付は得られないでしょうか？

上記のように単に就業期間だけでは断定できません。

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